Lớp 11Tài Nguyên

Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng:


Related Articles

Chứng minh rằng:

LG a

Bạn đang xem: Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

(11^{10} – 1) chia hết cho (100)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ({11^{10}} = {left( {1 + 10} right)^{10}}).

Lời giải chi tiết:

({11^{10}} – 1 = {left( {1 + 10} right)^{10}} – 1 )

(begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + …\
+ … + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) – 1
end{array})

(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}) (+ … + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) – 1)

(=10.10+ C^2_{10}{10^2} +  ldots  + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}})

( = 100left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + … + {{10}^8}} right))

Tổng sau cùng chia hết cho (100) suy ra (11^{10} – 1) chia hết cho (100).

LG b

(101^{100}– 1) chia hết cho (10 000)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ({101^{100}} = {left( {1 + 100} right)^{100}}).

Lời giải chi tiết:

Ta có

({101^{100}}-1{rm{ }} = {rm{ }}{left( {1{rm{ }} + {rm{ }}100} right)^{100}} – {rm{ }}1)

(begin{array}{l}
= (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + …\
+ … + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) – 1
end{array})

(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + … ) (+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) – 1)

( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + … + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}})

( = {100^2}left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + … + {{100}^{98}}} right))

Tổng sau cùng chia hết cho (100^2=10 000) nên (101^{100}– 1) chia hết cho (10 000).

LG c

(sqrt{10}[{(1 + sqrt{10})}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển ({left( {1 + sqrt {10} } right)^{100}}) và ({left( {1 – sqrt {10} } right)^{100}}).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

({(1 + sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } right)^2} + … )

(+ C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } right)^{99}} + C_{100}^{100}{left( {sqrt {10} } right)^{100}})

({(1  – sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0  – C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } right)^2} – … )

(- C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } right)^{99}} + C_{100}^{100} {left( {sqrt {10} } right)^{100}})

(begin{array}{l}
Rightarrow {left( {1 + sqrt {10} } right)^{100}} – {left( {1 – sqrt {10} } right)^{100}} = left[ {C_{100}^0 + C_{100}^1sqrt {10} + … + C_{100}^k{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … + C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{left( {sqrt {10} } right)}^{100}}} right]\
– left[ {C_{100}^0 – C_{100}^1sqrt {10} + … + C_{100}^k{{left( { – 1} right)}^k}{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … – C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{left( {sqrt {10} } right)}^{100}}} right]\
= 2.left[ {C_{100}^1sqrt {10} + C_{100}^3{{left( {sqrt {10} } right)}^3} + … + C_{100}^k{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … + C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}}} right]end{array})

Đặt (k = 2n + 1)

(begin{array}{l}
= 2sqrt {10} .left( {C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + … + C_{100}^{2n + 1}{{.10}^n} + … + C_{100}^{99}{{.10}^{49}}} right)\
= 2sqrt {10} .A\
Rightarrow sqrt {10} .left[ {{{left( {1 + sqrt {10} } right)}^{100}} – {{left( {1 – sqrt {10} } right)}^{100}}} right] = sqrt {10} .2sqrt {10} .A = 20A
end{array})

Vậy (sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên.

 Phòng GDĐT Thoại Sơn

Đăng bởi: Phòng GDDT Thoại Sơn

Chuyên mục: Tài Nguyên Học Tập

Xem thêm Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng:


Chứng minh rằng:

LG a

(11^{10} – 1) chia hết cho (100)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ({11^{10}} = {left( {1 + 10} right)^{10}}).

Lời giải chi tiết:

({11^{10}} – 1 = {left( {1 + 10} right)^{10}} – 1 )

(begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + …\
+ … + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) – 1
end{array})

(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}) (+ … + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) – 1)

(=10.10+ C^2_{10}{10^2} +  ldots  + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}})

( = 100left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + … + {{10}^8}} right))

Tổng sau cùng chia hết cho (100) suy ra (11^{10} – 1) chia hết cho (100).

LG b

(101^{100}– 1) chia hết cho (10 000)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ({101^{100}} = {left( {1 + 100} right)^{100}}).

Lời giải chi tiết:

Ta có

({101^{100}}-1{rm{ }} = {rm{ }}{left( {1{rm{ }} + {rm{ }}100} right)^{100}} – {rm{ }}1)

(begin{array}{l}
= (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + …\
+ … + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) – 1
end{array})

(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + … ) (+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) – 1)

( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + … + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}})

( = {100^2}left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + … + {{100}^{98}}} right))

Tổng sau cùng chia hết cho (100^2=10 000) nên (101^{100}– 1) chia hết cho (10 000).

LG c

(sqrt{10}[{(1 + sqrt{10})}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển ({left( {1 + sqrt {10} } right)^{100}}) và ({left( {1 – sqrt {10} } right)^{100}}).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

({(1 + sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } right)^2} + … )

(+ C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } right)^{99}} + C_{100}^{100}{left( {sqrt {10} } right)^{100}})

({(1  – sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0  – C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } right)^2} – … )

(- C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } right)^{99}} + C_{100}^{100} {left( {sqrt {10} } right)^{100}})

(begin{array}{l}
Rightarrow {left( {1 + sqrt {10} } right)^{100}} – {left( {1 – sqrt {10} } right)^{100}} = left[ {C_{100}^0 + C_{100}^1sqrt {10} + … + C_{100}^k{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … + C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{left( {sqrt {10} } right)}^{100}}} right]\
– left[ {C_{100}^0 – C_{100}^1sqrt {10} + … + C_{100}^k{{left( { – 1} right)}^k}{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … – C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{left( {sqrt {10} } right)}^{100}}} right]\
= 2.left[ {C_{100}^1sqrt {10} + C_{100}^3{{left( {sqrt {10} } right)}^3} + … + C_{100}^k{{left( {sqrt {10} } right)}^k} + … + C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } right)}^{99}}} right]end{array})

Đặt (k = 2n + 1)

(begin{array}{l}
= 2sqrt {10} .left( {C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + … + C_{100}^{2n + 1}{{.10}^n} + … + C_{100}^{99}{{.10}^{49}}} right)\
= 2sqrt {10} .A\
Rightarrow sqrt {10} .left[ {{{left( {1 + sqrt {10} } right)}^{100}} – {{left( {1 – sqrt {10} } right)}^{100}}} right] = sqrt {10} .2sqrt {10} .A = 20A
end{array})

Vậy (sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên.

 Phòng GDĐT Thoại Sơn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close