Lớp 12Tài Nguyên

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức


Related Articles

1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)

– Bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\)

Bạn đang xem: Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) 

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\).

– Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\).

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \(x,y \Rightarrow z\).

Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt {10} \)

Giải

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều kiện đã cho trở thành

+) \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}}  = 1\) 

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 – 2{x_1}{x_2} – 2{y_1}{y_2} = 1\)  (1)

+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\)  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)

+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}  \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}  \) 

\( = \sqrt {2.5}  = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)

Đáp án D 

 

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

  Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức \(z = x + yi(x,y \in R)\)  có điểm biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là độ dài đoạn thẳng \(OM\) với \(O\) là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)

A. \(N = 8\)

B. \(N = 10\)

C. \(N = 16\)              

D. \(N = 26\)

Giải

Gọi \(M(x,y)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)

+) \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2} \Leftrightarrow  – 4x + 4 – 8y + 16 =  – 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y – 4 = 0\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là một đường thẳng \(x + y – 4 = 0\)

+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)

\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + y – 4 = 0\)

\( \Rightarrow M(2,2)\)  \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)

A. \(3\sqrt 5 \)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 5 \)                                     

D. \(\sqrt {13} \)

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: \(\left| z \right| – \left| { – 2 – 4i} \right| \le \left| {z – 2 – 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| – \sqrt {20}  \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20}  + \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)

Đáp án A.

Đăng bởi: Phòng GDDT Thoại Sơn

Chuyên mục: Tài Nguyên Học Tập

Xem thêm Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức


1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)

– Bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\)

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) 

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\).

– Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\).

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \(x,y \Rightarrow z\).

Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt {10} \)

Giải

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều kiện đã cho trở thành

+) \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}}  = 1\) 

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 – 2{x_1}{x_2} – 2{y_1}{y_2} = 1\)  (1)

+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\)  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)

+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2}  + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}  \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}  \) 

\( = \sqrt {2.5}  = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)

Đáp án D 

 

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

  Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức \(z = x + yi(x,y \in R)\)  có điểm biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là độ dài đoạn thẳng \(OM\) với \(O\) là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)

A. \(N = 8\)

B. \(N = 10\)

C. \(N = 16\)              

D. \(N = 26\)

Giải

Gọi \(M(x,y)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)

+) \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2} \Leftrightarrow  – 4x + 4 – 8y + 16 =  – 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y – 4 = 0\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là một đường thẳng \(x + y – 4 = 0\)

+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)

\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + y – 4 = 0\)

\( \Rightarrow M(2,2)\)  \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)

A. \(3\sqrt 5 \)

B. \(5\)

C. \(\sqrt 5 \)                                     

D. \(\sqrt {13} \)

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: \(\left| z \right| – \left| { – 2 – 4i} \right| \le \left| {z – 2 – 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| – \sqrt {20}  \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20}  + \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)

Đáp án A.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close