Lớp 12Tài Nguyên

Dạng lượng giác của số phức

Dạng lượng giác của số phức


Related Articles

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

– Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\).

Bạn đang xem: Dạng lượng giác của số phức

– Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha  + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\).

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

– Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\).

– Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó:

+ \(r\) là mô đun của số phức.

+ \(\varphi \) là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} – {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} – {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)

d) Công thức Moivre:

Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:

\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác.

Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

– Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức.

Đăng bởi: Phòng GDDT Thoại Sơn

Chuyên mục: Tài Nguyên Học Tập

Xem thêm Dạng lượng giác của số phức

Dạng lượng giác của số phức


1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

– Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\).

– Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha  + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\).

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

– Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\).

– Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó:

+ \(r\) là mô đun của số phức.

+ \(\varphi \) là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} – {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} – {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)

d) Công thức Moivre:

Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:

\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác.

Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

– Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.