Lớp 10Tài Nguyên

Giải mục II trang 73, 74, 75 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Cho tam giác ABC có AB = 12; B = 60; C = 45. Tính diện tích của tam giác ABC. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).


Related Articles

Luyện tập – vận dụng 1

Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bạn đang xem: Giải mục II trang 73, 74, 75 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính \(\widehat A\). Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} – ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)

\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(\sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} \).

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)

Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} – {a^2})(2bc – {b^2} – {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} – {a^2}} \right].\left[ {{a^2} – {{(b – c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c – a)(b + c + a)(a – b + c)(a + b – c)} \end{array}\)

Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c – a = 2p – 2a = 2(p – a)\\a – b + c = 2p – 2b = 2(p – b)\\a + b – c = 2p – 2c = 2(p – c)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p – a).2p.2(p – b).2(p – c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p – a).p.(p – b).(p – c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \end{array}\)

b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)

Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} .\end{array}\)

Đăng bởi: Phòng GDDT Thoại Sơn

Chuyên mục: Tài Nguyên Học Tập

Xem thêm Giải mục II trang 73, 74, 75 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác ABC có AB = 12; B = 60; C = 45. Tính diện tích của tam giác ABC. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).


Luyện tập – vận dụng 1

Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính \(\widehat A\). Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} – ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)

\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(\sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} \).

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)

Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} – {a^2})(2bc – {b^2} – {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} – {a^2}} \right].\left[ {{a^2} – {{(b – c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c – a)(b + c + a)(a – b + c)(a + b – c)} \end{array}\)

Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c – a = 2p – 2a = 2(p – a)\\a – b + c = 2p – 2b = 2(p – b)\\a + b – c = 2p – 2c = 2(p – c)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p – a).2p.2(p – b).2(p – c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p – a).p.(p – b).(p – c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \end{array}\)

b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)

Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} .\end{array}\)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close